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Delfos

Escola de Matemática para jovens

Passeios com primos de Euclides, conexões de Galois e primos de Gauss

Jorge Picado (Universidade de Coimbra)

Passearemos por alguns problemas da teoria dos números, ligando três gigantes da matemática: Euclides, Galois e Gauss. Ponto de partida: um problema sobre os inteiros primos (de Euclides). Identificaremos a estrutura que está encondida neste e noutros problemas análogos envolvendo funções bem conhecidas da aritmética e da teoria dos números: as conexões de Galois! Isso mesmo, o tipo de conexão que Galois descobriu entre os corpos intermédios de uma extensão de Galois e os subgrupos do correspondente grupo de Galois (que lhe permitiu resolver o famoso problema da resolubilidade de equações algébricas), e que não é mais nem menos que um exemplo muito particular do conceito chave da moderna Teoria das Categorias (o conceito de adjunção) que está na base de muitos teoremas importantes da matemática que relacionam áreas distintas (nas palavras de Mac Lane, "adjunctions arise everywhere"). Veremos como as conexões de Galois, combinando grande clareza estrutural e facilidade computacional, nos permitem solucionar os nossos problemas sobre inteiros de uma maneira surpreendentemente simples e elegante, resolvendo-os (tal como Galois) no lado da conexão onde a informação é mais completa. Daqui seguimos para uma análise da extensão da noção de primo (euclidiano) a domínios diferentes dos inteiros, nomeadamente ao domínio dos inteiros de Gauss. Questões a discutir:

  1. Quais primos euclidianos são primos de Gauss?
  2. Na recta real não é possível passear desde a origem até ao infinito saltando de primo em primo, usando passos de comprimento limitado. E no plano complexo? Será possível, saltando de primo (gaussiano) em primo (gaussiano)?

Slides disponíveis aqui.


11 de Janeiro de 2014