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Os métodos, as temáticas

Os Estatutos de 1772 apontam para a Matemática como uma disciplina prioritária a ser cultivada por todos na Universidade. E justificam esta distinção com o facto de a Matemática ter "uma perfeição tão indisputável entre todos os conhecimentos naturais, assim na exactidão luminosa do seu Método, como na sublime e admiravel especulação das suas doutrinas”[56] e assim “illuminam superiormente os entendimentos no estudo de quaesquer outras disciplinas”[57]. Os Estatutos indicam claramente que a Matemática deve ser desenvolvida para bem da Universidade porque os conhecimentos matemáticos são “de grande importancia por si mesmos, e por isso dignos de servirem de termo á applicação de todos aquelles, que forem dotados do Talento necessario para nelles fazerem o devido progresso”[58]. Mas também indicam que a matemática se aplica em áreas importantes e que essas áreas também beneficiarão com o desenvolvimento dos estudos matemáticos, seja porque poderão aplicar o método matemático seja porque se irão obter aplicações importantes.

Esta duplo objectivo aparece repetidamente depois de 1772 e ao longo de todo o século XIX. D. Francisco de Lemos retoma a temática dos Estatutos ao justificar em 1777 a criação do curso de matemática, porque esta disciplina “alem da excelencia privativa, de que goza pelas Luzes da evidencia mais pura, (...) continha em si mesma hum grande Systema de Doutrinas da maior importância; como o era o regularem-se por ellas as Epocas, e Medidas dos tempos, as Situaçoens Geographicas dos Lugares; as Demarcaçoens, e Medições dos Terrenos; as Manobras, e Derrotas da Pilotagem; as Operaçoens Practicas da Campanha, e da Marinha; as Construcçoens da Architectura Naval, Civil, e Militar; as Machinas, Fabricas, Arteficios, e Aparelhos, que ajudam a fraqueza do Homem”[59].

Em muitas das intervenções ao longo deste período encontramos a mesma temática, embora por vezes aqui e ali com algum exagero. Por exemplo, na Oração de Sapiência do ano lectivo de 1868/69, pronunciada pelo Lente de Medicina Julio Sacadura Bote, este, ao fazer um apanhado dos diversos cursos da Universidade, dá uma certa importância à matemática ao se referir às suas “verdades descobertas”, mas também refere que o matemático exerce um domínio sobre a terra (e não admira que um leigo tire essa conclusão pois os títulos de 5 das 7 cadeira do curso de matemática desse ano falam de “applicações ás machinas”, “uso dos instrumentos opticos”, “aplicações da mechanica ás construções”, etc). Mas o Lente de Medicina excede-se ao afirmar: "O mathematico (...) tira das verdades descobertas illações de uma utilidade practica, immediatamente applicável aos usos da vida."[60]

Vamos encontrar um tom mais contido e um sentido menos utilitarista em Venâncio Rodrigues, Lente Decano e Director da Faculdade de Mathematica, na sua Oração de Sapiência de 1877: “O tempo e o espaço são qualidades necessarias para percepção dos objectos sensiveis. Os attributos que lhes são inherentes devem tambem convir aos dictos objectos; e os seus raciocinios que se podérem fazer sobre as suas propriedades são-lhes tambem applicaveis. É por este modo que se applicam a evidencia, a universalidade, e a necessidade das proposições mathematicas; e as suas applicações a todos os phenomenos do Universo.

Diz Cournot que «as mathematicas nos offerecem um caracter particular e bem notavel, que é — que as suas demonstrações se fundam unicamente em raciocinios, sem que seja necessario tomar cousa alguma emprestada á experiencia; porém que todavia seus resultados assim obtidos são susceptiveis de serem confirmados pela experiencia nos limites da exactidão que a experiencia pode dar.» D’aqui resulta que a SCIENCIA MATHEMATICA reune o caracter de SCIENCIA RACIONAL ao de SCIENCIA POSITIVA. Ella, que trata da quantidade considerada em relação ao tempo e ao espaço, é tida por Kant como o ponto de transição entre as sciencias metaphysicas e physicas, porque a Mathematica empresta seus principios áquellas; e tem relações immediatas com estas.”[61]

A preocupação com a interacção entre a Matemática e as outras Ciências esteve sempre presente. Na Oração de Sapiência que proferiu em 1887, o Lente de Matemática Rocha Peixoto afirmou: “Não podem pois as mathematicas separar-se das outras sciencias sem grave prejuizo para o ensino e progredimento d’estas“. Mas acrescenta logo a seguir que é “indispensavelmente necessária” a convivência entre os matemáticos e os outros cientistas pois caso contrário “os mathematicos seriam absorvidos pela abstracção da analyse, pelo rigor da geometria, pela paciencia da astronomia e até pela contemplação dos céos.”[62] E enumera de seguida o que os matemáticos têm a aprender com os outros universitários — teólogos, homens de letras, juriconsultos, médicos, físicos, naturalistas — provando assim a importância da convivência de todas as áreas numa Universidade.

O curso de Matemática seguiu sempre essencialmente esta ideia de desenvolvimento da matemática, tanto tento em atenção o seu próprio desenvolvimento, como tendo em vista as aplicações e ligações a outras áreas. Os Estatutos de 1772 dão várias indicações neste sentido, mas não se limitam a indicações genéricas. Por exemplo na regulamentação dos exercícios práticos é indicado expressamente que “ajuntaráõ sempre a Theorica com a Prática[63]. Uma das mais preciosas indicações contidas nesses Estatutos, diz contudo respeito ao enquadramento histórico e filosófico das matérias a leccionar, nos chamados “Prolegomenos Geraes das Sciencias Mathematicas”. Vale a pena reproduzir aqui essas indicações:

“1 Para que as Lições do Curso Mathematico se façam com boa ordem, e com aproveitamento dos Estudantes: O Lente de Geometria, a quem pertencem as Disciplinas do Primeiro Anno, antes de entrar nas Lições proprias da sua Cadeira, lerá os Prolegomenos Geraes das Sciencias Mathematicas.

2 Nelles fará uma Introducção breve, e substanciada ao Estudo destas Sciencias: Mostrando o objecto, divisão, e prospecto geral delas: Explicando o Methodo, de que se servem; a utilidade, e excelencia delle: E fazendo hum Resumo dos sucessos principaes da sua Historia pelas Epocas mais notaveis della. Taes são: Desde a origem da Mathematica, até o Seculo de Thales, e Pythagoras: Deste até a fundação da Escola Alexandrina: Della até a Era Christã: Desta até a destruição do Imperio Grego: Della até Cartesio: E de Cartesio até o presente tempo.

3 Este Resumo será proporcionado á capacidade dos Estudantes: De sorte, que os disponha, e anime para entrarem no estudo com gosto. Por isso não entrará o Lente na relação circumstanciada dos descubrimentos, que se fizeram nas ditas Sciencias em differentes tempos, e lugares; porque não póde ser entendida, senão por quem tiver já estudado as mesmas Sciencias; e então não lhe será necessaria a voz do Mestre, para se instruir na Historia. Recommendará porém muito aos seus Discipulos, que á medida, que forem caminhando no Curso Mathematico, se vão instruindo particularmente nella: Mostrando-lhes, que a primeira cousa, que deve fazer quem se dedica a entender no progresso das Mathematicas, he instruir-se nos descubrimentos antecedentemente feitos; para não perder o tempo em descubrir segunda vez as mesmas cousas; nem trabalhar em tarefas, e emprezas já executadas.”[64]

Indicações deste teor, embora não tão detalhadas, aparecem em todas as outras disciplinas do curso matemático. E há várias indicações de que realmente se deu alguma importância ao enquadramento histórico. Já quanto aos métodos de ensino, apesar de o Estatuto ser também muito claro e detalhado, o método expositivo tradicional deve ter resistido às investidas de renovação. Estes são ainda assuntos pouco estudados, mas temos o testemunho de José Anastácio da Cunha, quando se envolveu em polémica pública com José Monteiro da Rocha. Diz aquele: “O meu modo de ensinar era o que a minha consciencia e intelligencia perfeitamente conformes n'esse ponto com o que os Estatutos mandam, me dictavam. Expunha o objecto das proposições, a sua connexão e dependencia; o artificio com que Euclides consegue quasi sempre unir a facilidade ao rigor geometrico; e d'este procurava dar aos estudantes o conhecimento necessario. Não me demorava em ler ou repetir litteralmente as proposições que por faceis nem carecem de explicação, nem a admittem, só para poder empregar tempo sufficiente em indicar aos estudantes as verdadeiras difficuldades da lição, e facilitar-lh'as quanto as minhas tenues forças o permittiam.”[65]

E acusava os outros lentes de não procederem deste modo, e portanto de não estarem a cumprir os Estatutos da Universidade: “O mestre repetia ou pelo livro ou de cór litteralmente as proposições da lição; e no dia seguinte cada estudante satisfazia repetindo de cór a proposição que lhe perguntavam. Nem se mostrava o uso das proposições, nem se resolviam problemas; ninguem ainda viu o lente do 1º anno no campo ensinando as praxes que os Estatutos mandam. Debalde solicitei os instrumentos necessarios: não me consta que a Universidade tenha ainda nem uma prancheta.“[66]

José Anastácio da Cunha tem certamente razão neste último ponto, pois apenas na Acta da Congregação da Faculdade de Matemática de 17 de Fevereiro de 1807 aparece uma referência a uma diligência para que o material de Geometria fosse comprado: “Os Lentes de Geometria, e Astronomia Pratica pediraõ, o p.ro huã Plancheta p.a ouso dos seus Discipulos nas Liçoens praticas a. sepropunha dar-lhes, eo seg.do alguns telescopios achromaticos p.a o mesmp fim, atudo o. se differio.”[67] Contudo, os Estatutos determinavam que “O Lente do Primeiro Anno, (...) terá o cuidado de lhes mostrar o uso prático da Geometria, e Trigonometria Plana. Para o que lhes assinará alguns dias feriados, em que Elles se devam achar em algum lugar do Campo nas vizinhanças da Cidade. Tendo feito conduzir a elle Graphometros, Pranchetas; e outros instrumentos da Geodesia; lhes mostrará a praxe das Operações sobre o terreno”. E os Estatutos dão ainda mais indicações sobre como se deve mostrar o “uso real da Geometria”. Indicações semelhantes aparecem para as cadeiras dos outros anos.

As dificuldades do estudo da matemática não são iludidas e aparecem referidas várias vezes nas Orações de Sapiência. Por exemplo, na Oração de Venâncio Rodrigues já referida, aparece um incitamento à motivação dos alunos: “Alumnos que vos dedicaes a esta sciencia, não vos desanimem as difficuldades que ella apresenta. São ellas graduaes e em harmonia com o vosso desenvolvimento intellectual. Não é mister possuir superior ingenho para ser bom mathematico: intelligencia mediana, applicação não interrompida, e trabalho assiduo, compativel com as proprias forças, tanto basta para possuirdes conhecimentos de tanta utilidade para o progresso e aperfeiçoamento da Sociedade.”[68]

Das poucas referências conhecidas se pode concluir que o ensino das disciplinas básicas de Matemática atingiu um bom nível. Por exemplo, segundo Sarmento de Beires, Francisco Gomes Teixeira, certamente o matemático português mais importante deste período, referindo-se ao professor de Álgebra do 1º ano, Torres Coelho, “não esconde a influência decisiva que ele teve na sua vida, afirmando que, desde então, com todo o seu entusiasmo, se dedicou exclusivamente à Matemática.”[69]

Também Sidónio Pais e Bruno de Cabedo são lisongeiramente referidos por um grande matemático português da primeira metade do século XX, Mira Fernandes, como sendo excelentes professores. Vicente Gonçalves refere-se à educação de Mira Fernandes na Faculdade de Matemática da Universidade de Coimbra[70] nos seguintes termos: “A matemática que lá aprendeu, porventura deficiente em extensão, foi indubitàvelmente de boa qualidade formativa. Mira Fernandes estudou Cálculo com Sidónio Pais, seguindo o curso de Gomes Teixeira: o mestre fulgia na cátedra e o texto era então dos melhores. Aprendeu Análise com José Bruno, seguindo ora Teixeira, ora Goursat, ora Picard, ao sabor de suas perfeições, mas por vezes também seguindo o mestre, que não raro aqui e além a todos sobrelevava; José Bruno era inexcedível na arte de ensinar e Mira Fernandes foi seu único ouvinte em 1907-08. Cursou Mecânica com Luís da Costa, já nos seus sessenta e tantos mas ainda bem seguro na matéria em que muito havia estudado e reflectido. No quinto ano teve Mecânica Celeste com Luciano Pereira da Silva, mestre primoroso, superiormente inteligente e culto, que seguia o tratado de Tisserand sem nunca descurar a substancial introdução de Análise e Mecânica; e também nesse ano Mira Fernandes foi aluno único. Em Física Matemática, porém não terá sido tão feliz”[71].

A avaliação final era inicialmente constituída por exames por anos que se foram progressivamente transformando em exames por cadeiras a partir dos finais do século XIX. Os alunos eram obrigados ainda, de acordo com o Estatuto de 1772 a realizar trabalhos escritos durante as disciplinas, tanto para exercícios relativos a problemas “Que não requerem discussão alguma, mas tão somente uma resolução breve, e elegante, ainda que sejam muito dificultosos”[72], como para um assunto “que peça discussão” e sobre o qual os alunos deviam elaborar uma pequena dissertação. Esta determinação parece ter sido cumprida, pelo menos em grande parte. No espólio de Sidónio Pais[73] aparecem vários trabalhos de alunos, realizados em diferentes anos lectivos, que entram nas duas categorias acima: "Achar o quarto differencial total de 

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“, “Verificar na theoria de numeros inteiros de Helmholtz a lei commutativa da addição, partindo do axioma de Grassmer”, achar derivadas de funções dadas, que entram na primeira categoria, uma dissertação de 43 páginas intitulada “Integral definido simples. Critérios de integrabilidade. Funções integráveis” ou uma dissertação de 9 página intitulada “Integral intermedio geral das equações ás derivadas parciaes de 2ª ordem”, que entram na segunda categoria de exercícios escritos.

Os exames eram normalmente baseados em pontos tirados à sorte com 24 horas de antecedência. Por exemplo, num exemplar da tradução do livro de Francoeur “Algebra Superior“, encontra-se a indicação do exame realizado por um aluno (certamente da 1ª cadeira) na seguinte forma:

- Ponto -

- Francoeur - 3ª ed. - Alg. sup., Nº 37, 2º e 3º meth.

- " - Geom. anal. - Nºs 59 a 63 incl.

- " - Geom. anal. - Nºs 170 a 173 incl.

Tirado no dia 14 de Junho de 1881

Acto no dia 15

O primeiro item diz respeito à determinação de majorantes das raízes de um polinómio (o 3º método envolve a fórmula de Taylor para o polinómio). Os temas de Geometria Analítica são sobre a hipérbole e suas propriedades e sobre posições relativas de planos e rectas no espaço. No espólio de Sidónio Pais atrás referido encontra-se uma lista de pontos de exame da 1ª cadeira da Faculdade de Matemática em 1911. Eis alguns exemplos (eram 33 pontos no total):

1º Theoria dos numeros irracionais, negativos e complexos. Resolução trigonometrica das equações binomias.

2º Theoria dos numeros limites.

12º Propriedades elementares dos determinantes.

17º Funcções symetricas inteiras. Calculo das funcções symetricas simples pelo methodo de Newton. Funcções symetricas duplas e triplas. Funcções symetricas racionais.

22º Noção de serie. Fórmulas e Series de Taylor e de Maclaurin. Representação de funcções por estas series.

31º Theoria geral das asymptotas e das tangentes ás curvas.

Tambem pelas provas de avaliação se pode ver que os programas das cadeiras eram essencialmente cumpridos, e portanto pode-se ter uma ideia genérica do nível científico do curso a partir dos planos de estudo e programas conhecidos.

   

[56] Estatutos (1772), liv. III, Parte II, § 1.
[57] Ibidem, § 2.
[58] Ibidem, tít. II, cap. I, § 1.
[59] LEMOS, Francisco de, Relação Geral do Estado da Universidade (1777), Coimbra, 1980, pp. 80-81.
[60] BOTE, Julio Sacadura, “Oração inaugural (de sapientia)”, in Annuario da Universidade de Coimbra no anno lectivo de 1868 para 1869, Coimbra, 1868.
[61] RODRIGUES, Raimundo Venâncio, “Oração de Sapientia”, in Annuario da Universidade de Coimbra no anno lectivo de 1877 para 1878, Coimbra, 1877.
[62] PEIXOTO, Alfredo da Rocha, “Oração de Sapientia”, in Annuario da Universidade de Coimbra - Anno lectivo de 1887 a 1888, Coimbra, 1888, pp. XXIV-XXVI.
[63] Estatutos (1772), liv. III, Parte II, tít. V, Cap. III, § 2.
[64] Ibidem, tít. IV, Cap. I, § 1-3.
[65] CUNHA, José Anastácio da, “Factos contra calumnias”, in FERRAZ, M. L., RODRIGUES, J. F., SARAIVA, L. (Ed.), Anastácio da Cunha - 1744/1787 - o matemático e o poeta, INCM, Lisboa, 1990, p. 386.
[66] Ibidem, p. 387.
[67] Actas das Congregações da Faculdade de Matemática (1772-1820), Universidade de Coimbra, 1983, vol. II, p. 94.
[68] RODRIGUES, Raimundo Venâncio, “Oração de Sapientia”, in Annuario da Universidade de Coimbra no anno lectivo de 1877 para 1878, Coimbra, 1877.
[69] BEIRES, Rodrigo Sarmento de, Evocação da vida e obra do Professor Gomes Teixeira, “Anais da Faculdade de Ciências do Porto”, 1950, vol. XXXV.
[70] Mira Fernandes fez o curso de 1904 a 1910.
[71] GONÇALVES, J. Vicente, “Aureliano de Mira Fernandes, Investigador e Ensaísta”, prefácio a Obras completas de Aureliano de Mira Fernandes, 1971, vol. I, pp. V-XXI.
[72] Estatutos (1772), liv. III, Parte II, tít. V, Cap. IV, § 4.
[73] Agradeço ao Dr Armando Malheiro da Silva ter-me facultado acesso a este espólio.